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Rompecabezas y Problemas de Matemáticas


Rectángulos en un tablero de ajedrez
puzzle : chess board

Hoja de trabajo / documento de prueba Resolver Puzzle

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1. Si usted tuviese que construir un tablero cuadrado con las siguientes dimensiones 5 × 5 (o sea, un tablero de ajedrez 5 × 5), ¿cuántos rectángulos podrían ser encontrados en el total? Necesita incluir los cuadrados también porque un cuadrado es un tipo especial de rectángulo.
Respuesta: 225


Solución:

Todos los rectángulos en el tablero pueden ser identificados ligándose:
2 puntos de 6 en el lado superior (para formar la largura del rectángulo) y
2 puntos de 6 en el lado izquierdo (para formar la anchura del rectángulo).

Para entender mejor, considere el tablero de ajedrez 8 × 8 (vea animación arriba).
Note que existen 4 posibilidades para las larguras de los rectángulos ser 5 unidades.

La tabla a continuación muestra el número de posibilidades para diferentes larguras de los rectángulos en un tablero 5 × 5:

Length of rectangle Número of Posibilidades
5 units 1
4 units 2
3 units 3
... ...
1 unit 5

Entonces, el número de posibilidades para diferentes larguras de los rectángulos = 1 + 2 + 3 + ... + 5 = 15.
Semejantemente, el número de posibilidades para diferentes anchuras de los rectángulos = 1 + 2 + 3 + ... + 5 = 15.
Portanto,o número de rectángulos = 15 × 15 = 225.

Alimento para el pensamiento:

Existe una fórmula para la suma de las primeras n enteros positivos ?
Sería 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = n (n + 1) / 2 ?

¿Este problema podría ser resuelto rápidamente con el conocimiento de permutaciones y combinaciones?
Note que nC2 es el número de combinaciones de n cosas tomadas 2 de cada vez.
nC2 = n (n − 1)/2. Por tanto el número de rectángulos = 6C2 ×6C2 = 15 × 15 = 225.

¿Consigue resolver la siguiente fórmula alternativa para este problema?
Número de rectángulos en un tablero n × n
= 2 (Suma de los productos de todos los pares de números de 1 la n) − (Número de cuadrados en el tablero)

Entonces, cuántos cuadrados en un tablero n × n? Haz clic aquí para descubrir.



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