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Rompecabezas y Problemas de Matemáticas


Rectángulos en un tablero de ajedrez
puzzle : chess board

Hoja de trabajo / documento de prueba Resolver Puzzle

     

1. Si usted tuviese que construir un tablero cuadrado con las siguientes dimensiones 8 × 8 (o sea, un tablero de ajedrez 8 × 8), ¿cuántos rectángulos podrían ser encontrados en el total? Necesita incluir los cuadrados también porque un cuadrado es un tipo especial de rectángulo.
Respuesta: 1296


Solución:

Todos los rectángulos en el tablero pueden ser identificados ligándose:
2 puntos de 9 en el lado superior (para formar la largura del rectángulo) y
2 puntos de 9 en el lado izquierdo (para formar la anchura del rectángulo).

Para entender mejor, considere el tablero de ajedrez 8 × 8 (vea animación arriba).
Note que existen 4 posibilidades para las larguras de los rectángulos ser 5 unidades.

La tabla a continuación muestra el número de posibilidades para diferentes larguras de los rectángulos en un tablero 8 × 8:

Length of rectangle Número of Posibilidades
8 units 1
7 units 2
6 units 3
... ...
1 unit 8

Entonces, el número de posibilidades para diferentes larguras de los rectángulos = 1 + 2 + 3 + ... + 8 = 36.
Semejantemente, el número de posibilidades para diferentes anchuras de los rectángulos = 1 + 2 + 3 + ... + 8 = 36.
Portanto,o número de rectángulos = 36 × 36 = 1296.

Alimento para el pensamiento:

Existe una fórmula para la suma de las primeras n enteros positivos ?
Sería 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = n (n + 1) / 2 ?

¿Este problema podría ser resuelto rápidamente con el conocimiento de permutaciones y combinaciones?
Note que nC2 es el número de combinaciones de n cosas tomadas 2 de cada vez.
nC2 = n (n − 1)/2. Por tanto el número de rectángulos = 9C2 ×9C2 = 36 × 36 = 1296.

¿Consigue resolver la siguiente fórmula alternativa para este problema?
Número de rectángulos en un tablero n × n
= 2 (Suma de los productos de todos los pares de números de 1 la n) − (Número de cuadrados en el tablero)

Entonces, cuántos cuadrados en un tablero n × n? Haz clic aquí para descubrir.



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