Solución:

Todos los rectángulos en el tablero pueden ser identificados ligándose:
2 puntos de 8 en el lado superior (para formar la largura del rectángulo) y
2 puntos de 8 en el lado izquierdo (para formar la anchura del rectángulo).

Para entender mejor, considere el tablero de ajedrez 8 × 8 (vea animación arriba).
Note que existen 4 posibilidades para las larguras de los rectángulos ser 5 unidades.

La tabla a continuación muestra el número de posibilidades para diferentes larguras de los rectángulos en un tablero 7 × 7:

Length of rectangle	Número of Posibilidades
7 units	1
6 units	2
5 units	3
...	...
1 unit	7

Entonces, el número de posibilidades para diferentes larguras de los rectángulos = 1 + 2 + 3 + ... + 7 = 28.
Semejantemente, el número de posibilidades para diferentes anchuras de los rectángulos = 1 + 2 + 3 + ... + 7 = 28.
Portanto,o número de rectángulos = 28 × 28 = 784.

Alimento para el pensamiento:

Existe una fórmula para la suma de las primeras n enteros positivos ?
Sería 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = n (n + 1) / 2 ?

¿Este problema podría ser resuelto rápidamente con el conocimiento de permutaciones y combinaciones?
Note que ⁿC₂ es el número de combinaciones de n cosas tomadas 2 de cada vez.
ⁿC₂ = n (n − 1)/2. Por tanto el número de rectángulos = ⁸C₂ ×⁸C₂ = 28 × 28 = 784.

¿Consigue resolver la siguiente fórmula alternativa para este problema?
Número de rectángulos en un tablero n × n
= 2 (Suma de los productos de todos los pares de números de 1 la n) − (Número de cuadrados en el tablero)

Entonces, cuántos cuadrados en un tablero n × n? Haz clic aquí para descubrir.