Solución:
Todos los rectángulos en el tablero pueden ser identificados ligándose:
2 puntos de 7 en el lado superior (para formar la largura del rectángulo) y
2 puntos de 7 en el lado izquierdo (para formar la anchura del rectángulo).
Para entender mejor, considere el tablero de ajedrez 8 × 8 (vea animación arriba).
Note que existen 4 posibilidades para las larguras de los rectángulos ser 5 unidades.
La tabla a continuación muestra el número de posibilidades para diferentes larguras de los rectángulos en un tablero 6 × 6:
Length of rectangle | Número of Posibilidades |
6 units | 1 |
5 units | 2 |
4 units | 3 |
... | ... |
1 unit | 6 |
Entonces, el número de posibilidades para diferentes larguras de los rectángulos = 1 + 2 + 3 + ... + 6 = 21.
Semejantemente, el número de posibilidades para diferentes anchuras de los rectángulos = 1 + 2 + 3 + ... + 6 = 21.
Portanto,o número de rectángulos = 21 × 21 = 441.
Alimento para el pensamiento:
Existe una fórmula para la suma de las primeras
n enteros positivos ?
Sería 1 + 2 + 3 + 4 + ... +
n =
n (
n + 1) / 2 ?
¿Este problema podría ser resuelto rápidamente con el conocimiento de permutaciones y combinaciones?
Note que
nC
2 es el número de combinaciones de
n cosas tomadas 2 de cada vez.
nC
2 =
n (
n − 1)/2. Por tanto el número de rectángulos =
7C
2 ×
7C
2 = 21 × 21 = 441.
¿Consigue resolver la siguiente fórmula alternativa para este problema?
Número de rectángulos en un tablero
n ×
n
= 2 (Suma de los productos de todos los pares de números de 1 la
n) − (Número de cuadrados en el tablero)
Entonces, cuántos cuadrados en un tablero
n ×
n?
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